نظرية فيثاغورس

يحتاج العديد من الطلاب والمعلمين معرفة شرح وإثبات نظرية فيثاغورس وما هو مجسمها واستخدامها في البناء والملاحة  أو حياتنا اليومية بشكل عام، وتعد من أقدم النظريات الموجودة في علم الرياضيات التي اخترعها العالم فيثاغورس وسميت بهذا الاسم نسبةً إليه وإليك نص هذه النظرية.

شرح نظرية فيثاغورس

تعتبر تلك النظرية من أبرز النظريات الموجودة في علم الرياضيات ويرجع الفضل إلى العالم فيثاغورس وبمساعدة بعض من طلابة، وتدخل هذه النظرية في كثير من المجالات مثل البناء والملاحة البحرية والهندسة والصناعة وغيرها من المجالات، وتنص هذه النظرية على أن مجموع مربعي طولي ضلعي المثلث القائم الزاوية يساوي مربع طول ضلع الوتر(أ² + ب² = ج²)، حيث أن (أ، ب) هما ضلعي المثلث القائم و(ج) هو وتر المثلث القائم، ويمكن إثبات عكس هذه النظرية وهي أن المثلث يمكن أن يكون قائم الزاوية إذا كان مجموع مربعي ضلعي المثلث القائم الزاوية يساوي مربع ضلع الوتر.

ما هي طريقة إثبات نظرية فيثاغورس؟

يمكن إثبات هذه نظرية بعدة طرق وإليك طريقتين:

1. الطريقة الأولى: إذا كان لدينا المثلث (أ، ب، ج) قائم الزاوية عند الضلع (ب) ونحتاج أن نثبت نظرية فيثاغورس عن طريق ما يلي:
   1. إذا فرضنا أن هناك ضلع يخرج من رأس الزاوية القائمة (ب) عمودي على الضلع (أج) فإنه سوف ينصف هذا الضلع إلى ضلعين متساويين، وسوف ينتج مثلثين وهما (ب د أ)، (ب د ج).
   2. يوجد تشابه بين المثلثين (ب د أ)، (أ ب ج) لأنهما يشتركان في الزاوية (ج) وأن كلاً منهما لدية زاوية قائمة.
   3. طول (أ د/ أ ب = أ ب/ أ ج) وبالتالي (أ د × أ ج) = (أ ب)² وتسمى معادلة رقم (1).
   4. يوجد تشابه بين المثلثين (ج د ب) و (أ ب ج) لأنهما يشتركان قي الزاوية ج وأن كلاً منهما يحتوي على زاوية قائمة.
   5. طول (د ج/ ب ج) = (ب ج/ أ ج) وبالتالي (د ج × أ ج) = (ب ج)² وتسمى معادلة رقم(2).
   6. من المعادلة (1)، (2) نقوم بجمعهم وينتج أن (أ د × أ ج) + ( د ج × أ ج) = (أ ب)² + (ب ج)².
   7. نأخذ (أ ج) عامل مشترك ينتج أن (أ ج) × (أ د + د ج) = (أ ب)² + (ب ج)².
   8. بما أن الضلع (أ ج) نصف إلى ضلعين متساويين وهما (أ د)، (د ج) إذاً (أ د + د ج = أ ج).
   9. نقوم بوضع أ ج مكان (أ د + د ج) سينتج أن (أ ج × أ ج) = (أ ب)² + (ب ج)².
   10. إذاً (أ ج)² = (أ ب)² + (ب ج)² وهذا هو المطلوب إثباته.
2. الطريقة الثانية: عن طريق استخدام مساحة شبه المنحرف عن طريق ما يلي:
   1. نفترض أن شبه المنحرف (أ ب ج د)قائم الزاوية في (ج، ب)، وارتفاعه هو (ب ج)،وقاعدتاه هما (أ ب)، (ج د).
   2. ثم يقسم إلى ثلاث مثلثات وهما(أ ب و)، (أ و د)، (د و ج)  عن طريق وضع النقطة (و) على الارتفاع (ب ج) بحيث يصير (ب و) = (و ج).
   3. مساحة شبه المنحرف تساوي نصف مجموع القاعدتين في الارتفاع.
   4. إذاً المساحة تساوي (1/2 ) × (أ ب + ج د) × (ب ج).
   5. ويمكن إيجاد مساحة شبه المنحرف عن طريق أيجاد مساحة كل مثلث على حدة.
   6. مساحة المثلث (أ ب و) وهو مثلث يساوي مساحة المثلث الثاني (و ج د) وهما قائمين الزاوية في (ب، ج) يساوي (1/2) × (أ ب) × (ب و).
   7. مساحة المثلث الثالث (أ و د) وهو متساوي الساقين تساوي (1/2) × (أ و) × (أ د).
   8. ينتج أن مساحة شبه المنحرف يساوي مجموع مساحة المثلثات الثلاث.
   9. المساحة = (1/2) × (أ ب) × (ب و) + (1/2) × (أ ب) × (ب و) = (1/2) × (أ و) × (أ د).
   10. بعد التبسيط ينتج أن أ² + ب² = ج² وهذا هو المطلوب إثباته.

استخدامات نظرية فيثاغورس في حياتنا

تدخل تلك النظرية في المجالات التي تستخدم بشكل يومي وإليك بعضها:

• إنشاء المباني العامة وذلك في كيفية وضع أسس المباني بطريقة صحيحة، عن طريق حساب طول وعرض المبنى.
• الملاحة البحرية التي تسمح بإنشاء مسار صحيح للسفن وحساب المسافات في عرض المحيطات.
• الهندسة وفروع الرياضيات كما يستخدمها المعلمون وأصحاب الحرف في الحسابات.